Orthogonale Ebene berechnen

Es geht um folgende Aufgabe: Gesucht ist die Ebene F, in der die zwei Punkte A(2|–1|7) und B(0|3|9) liegen. Außerdem soll sie orthogonal zur Ebene E:
2x_1 + 2x_2 + x_3 = 7 sein.

../../../static/blog/2008/ebenen/vector_substraction.png

Subtrahieren von Vektoren

Ich schlage diese Lösung vor: Zuerst findet man den Normalenvektor heraus. Das ist hier recht einfach, da E schon in parameterfreier Form vorliegt. Also ist $\vec n = \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ . Nun braucht man für eine Ebene zwei Richtungsvektoren und einen Aufpunktvektor. Also verbraten wir die gegebenen Punkte: $\vec a = \left ( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 7 \end{array} \right )$ als Aufpunktvektor und $\vec b - \vec a = \left ( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right )$ als ersten Richtungsvektor.

Fehlt also noch der zweite Richtungsvektor. Dafür kann man den Normalenvektor nehmen, den wir eben aus der Gleichung für E herausgezogen haben. Dies erspart das Ausrechnen eines zweiten Richtungsvektors und ist genauso richtig, da der Vektor n – sofern beide Ebenen orthogonal sein sollen – genau in der neu zu erstellenden Ebene F liegt. Und schon steht die Gleichung für $F: \vec x = \left ( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 7 \end{array} \right ) + r \left ( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right ) + s \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right )$ .

../../../static/blog/2008/ebenen/e_and_f_with_n.png

Der Normalenvektor der grünen Ebene ist gleichzeitig ein Richtungsvektor der anderen.

Zum Überprüfen der Lösung muss man nur noch den Normalenvektor von F berechnen und schauen, ob er orthogonal zu dem von E ist.

IPv6 ready