Satz des Thales mit Vektorrechnung beweisen

Zwei rechtwinklige Dreiecke im Halbkreis

Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck, das einen Punkt auf der Halbkreisbahn (siehe Bild) hat an diesem Punkt einen rechten Winkel hat. Um dies zu beweisen kann man sich der Geometrie bedienen. Ich werde hier aber einen anderen Weg wählen: Vektoren.

Zunächst bezeichnen wir die Ecken mit A, B und C. Der Mittelpunkt der Hypotenuse, also der Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, bekommt den Buchstaben M.

Hätten alle Dreiecke ABC einen rechten Winkel bei Punkt C, so müsste gelten $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$ , denn das Produkt zweier Vektoren ergibt Null, wenn sie orthogonal zueinander verlaufen. Nun wollen wir das ganze aber allgemeingültig lösen, sodass wir keine Werte einsetzen und überprüfen können. Darum müssen Gleichungen gefunden werden, mit denen man $\vec{AC}$ und $\vec{BC}$ ersetzen kann.

Die Länge des Vektors $\vec{MC}$ ist gleich dem Radius des Halbkreises, also dem halben Durchmesser: $|\vec{MC}| = \frac{1}{2} | \vec{AB} |$ . Mithilfe von Addition von Vektoren können wir ebenfalls die Vektoren $\vec{AC}$ und $\vec{BC}$ umschreiben in $\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \vec{MC}$ und $\vec{BC} = \vec{BM} + \vec{MC} = - \frac{1}{2} \vec{AB} + \vec{MC}$ . Diese beiden Gleichungen können wir nun einsetzen: $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = \left ( \frac{1}{2} \vec{AB} + \vec{MC} \right ) \cdot \left (- \frac{1}{2} \vec{AB} + \vec{MC} \right ) = 0$ . Dann das ganze ausmultiplizieren: $- \frac{1}{4} (\vec{AB})^2 + \frac{1}{2} \vec{AB} \cdot \vec{MC} - \frac{1}{2} \vec{AB} \cdot \vec{MC} + (\vec{MC} )^2 = 0$ . Und wie man sieht hebt sich ein großer Teil dieser Gleichung von selber auf. Es bleibt also: $- \frac{1}{4} (\vec{AB} )^2 + (\vec{MC} )^2 = 0$ .

Nun kann man folgende vom Skalarprodukt abgeleitete Regel verwenden: Das Quadrat eines Vektors ist sein Betrag zum Quadrat, denn der Winkel in dem der Vektor zu sich selber steht beträgt 0°. Damit ist $( \vec{AB} )^2 = | \vec{AB} |^2$ und $(\vec{MC} )^2 = |\vec{MC} |^2$ , wobei wir $\vec{MC}$ eben schon definiert hatten.

So gilt: $- \frac{1}{4} |\vec{AB} |^2 + \frac{1}{4} | \vec{AB} |^2 = 0$ . Diese Aussage ist wahr, denn die linke Seite ist auch Null, womit der Satz des Thales bewiesen wäre.

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