Jägerlatein zum Weihnachtsfest

Ein Förster läuft von seinem Auto zu einem Hochsitz. Dabei legt er eine Strecke von 7,5 km mit einer Geschwindigkeit von 5,0 km/h zurück. Auf dem Weg rennt sein Jagdhund ständig zwischen ihm und dem Hochsitz mit der doppelten Geschwindigkeit hin und her. Welche Strecke ist der Hund gelaufen, wenn der Förster am Hochsitz eintrifft?

Diese Aufgabe könnte ich auch unter „Physik“ einordnen, aber die Lösung ist eher mathematischer Natur. Gegeben sind also zunächst die Geschwindigkeit des Försters mit v_f = 5.0 km/h und die des Hundes mit v_h = 10.0 km/h . Außerdem die Strecke, die der Förster zurücklegt ( s_0 = 7.5 km ).

Die vom Hund zurückgelegte Strecke lässt sich wohl am besten mit einer unendlichen Reihe beschreiben: Der Hund pendelt vom Jäger zur Jagdhütte und zurück und legt dabei eine bestimmte Strecke zurück, die dann zu den anderen Strecken hinzusummiert wird. Unendlich ist die Reihe – sofern man sich in den reellen Zahlen bewegt und vernachlässigt, dass jedes Maßband irgendwann versagen wird – weil sich der Abstand zwischen Jäger und Hütte beliebig nah an Null annähern lässt ohne, dass die Null jemals erreicht wird.

Eine solche unendliche Reihe könnte folgende sein: $s_h = \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^i s_0 + \left(\frac{1}{3}\right)^{i+1} s_0$ .

Die $\frac{1}{3}$ entstammen folgender Überlegung: Legt der Hund die doppelte Geschwindigkeit zurück, wie der Jäger, so hat er das Jagdhaus erreicht, wenn der Jäger die Hälfte des Weges geschafft hat. Ist der Hund wieder beim Jäger, so hat der Jäger nochmal $\frac{1}{3}$ des noch vorhandenen Weges, also $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ des Weges geschafft. Macht zusammen $\frac{2}{3}$ , sodass für eine weitere „Runde“ noch $\frac{1}{3}$ des vorherigen Weges verbleiben. So lässt sich der Anfang der Reihe ausschreiben als $s_h = \left(\frac{1}{3}\right)^0 \cdot s_0 + \left(\frac{1}{3}\right)^1 \cdot s_0 + \ldots$

Nun sollte man den ganzen Ausdruck noch etwas vereinfachen, indem man aus der letzten Potenz ein $\frac{1}{3}$ herauszieht: $s_h = \sum_{i=0}^{\infty} 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^i s_0 + \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{i} s_0$

Zusammenfassen: $s_h = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{i} s_0$ und Konstanten aus der Summe herausziehen: $s_h = \frac{4}{3} s_0 \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{i}$ .

Die unendliche Reihe ist nun recht „handlich“ und entspricht der geometrischen Reihe $\sum_{k=0}^{\infty} q^k$ , wobei $q = \frac{1}{3} < 1$ gilt. Wie man in entsprechender Literatur nachschlagen kann konvergiert die Reihe gegen $\frac{1}{1-q}$ , was wir in unsere Formel einsetzen können: $s_h = \frac{4}{3} s_0 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = 2 \cdot s_0$

Nun kann man s_0 mit den 7,5 km aus der Aufgabe ersetzen und bekommt als Ergebnis: 15 km.

Es gibt übrigens auch eine Möglichkeit das ganze „physikalisch“ zu lösen: Der Hund läuft die doppelte Geschwindigkeit wie der Jäger – bei gleicher Zeit. Für gleichförmige Bewegungen gilt: $s = v \cdot t$ , sodass der Hund die doppelte Strecke, also $s_0 \cdot 2 = 15 km$ gelaufen sein muss.